五、刘徽的成就
【割圆之魂（历史故事）】
（一）秋夜惊雷
魏景元四年秋，洛阳城东。
枯叶被风卷起，贴着宫墙根打旋儿，发出细碎的沙沙声。城里的空气闷得发紧——街头巷尾都在悄声议论司马昭进位晋王的事，人们压低嗓子说话，像怕惊动了什么。
但这些喧嚣，传不进刘徽的书房。
四十八岁的算学家佝偻着背，伏在一张磨得发亮的矮案前。案上摊开的《九章算术》竹简已经泛黄，麻绳打了三四个结，有几片简的边角都磨圆了。阳光从窗棂斜斜切进来，照在他的后颈上，那里有一道常年低头留下的深纹。
他面前摆着六根算筹——正六边形的六条边。这是他今日割圆的起点。
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（二）三十三年的执念
六变十二。十二变二十四。二十四变四十八。
算筹在案面上铺开又收拢，收拢又铺开。他每算一步，便用刻刀在竹简上刻下一行蝇头小隶。刻得深了，竹屑飞溅；刻得浅了，墨迹洇开。他的手指上全是陈年的老茧，拇指关节因为常年握刀已经微微变形。
“周三径一。”他嘴里低声念着这个传了两百年的“真理”，嘴角浮起一丝近乎嘲讽的笑。
十五岁那年他就觉得不对。那年他在淄乡老家，看石匠把一块方石凿成柱础。方石四角被一锤一锤敲掉，变成八边形、十六边形……越敲越圆。他蹲在旁边看了整整一个下午，突然跳起来跑回家，在沙地上用树枝画了一个圆，又画了内接正六边形。
六边形的周长是直径的三倍，可那六条直边明明比圆弧短啊。
“圆的周长，一定比三倍直径长。”
这个念头像一颗种子，在他心里扎了根。这一扎，就是三十三年。
其间他做过小吏，教过蒙童，看着曹魏的皇帝从曹叡换成曹芳，又从曹芳换成曹髦。乱世里人命如草芥，可他的算筹从未断过。白天在官署抄公文，晚上回家割圆。一割就是大半宿，油灯熬干了，就借着月光继续摆弄那些细竹棍。
此刻，他正算到正九十六边形。案上的算筹已经摆不下了，他不得不用几枚小石子压住边角。手指飞快地拨弄着竹棍——乘法、除法、开方——每一步都像在走钢丝，错一根就要从头再来。
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（三）与圆合体
日影从案角移到案心，又从案心滑向案尾。当暮色漫上窗棂时，他停下来，盯着眼前那一组数字，屏住了呼吸。
正一百九十二边形，面积：三万一千四百六十四分寸之……他心中默算约分，提笔的手悬在半空，微微颤抖。
“一百五十七分寸之五十。”
3.14。
他比“周三径一”的3.0往前迈了一步。但他知道，这根本不是终点。他猛地推开算筹，抓起另一片空白竹简，刻刀几乎划破竹面，写下那八个字：
“割之弥细，所失弥少。”
他的眼睛亮得像着了火。继续刻：“割之又割，以至于不可割——”
刻到“不可割”三个字时，他停住了。窗外月亮正好升起来，又大又圆，像一枚悬在天上的正无穷边形。他盯着那个月亮，忽然感到一阵莫名的战栗——他触到了那个边界，那个“不可割”的、与圆“合体”的、极限的边界。
在这个世界上，在此之前，从没有人这样想过问题。
“则与圆合体，而无所失矣。”
他刻完最后一个字，搁下刻刀。夜风从窗缝钻进来，吹得油灯晃了三晃。他把那枚竹简举到灯下，一个字一个字地看过去，像在辨认一件神物。
他知道自己刚刚做了一件大事。但他说不清那是什么。
（四）泰山脚下
两个月后，刘徽站在泰山脚下。
北风刮得人睁不开眼，他裹紧那件洗得发白的旧袍子，指挥两个弟子在南北各立一支八尺高的表杆。周围几个樵夫远远围观，不知道这群怪人在做什么。
“南表影长一丈三尺五寸，北表影长一丈一尺七寸。”弟子报数。
刘徽蹲在地上，用一块炭石在石板上飞速演算。两表间距、影差、表高——这些数字在他手中像听话的兵卒，列阵、冲锋、得出战果。他嘴里念念有词，那是他自创的“重差术”口诀：“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。”
在中国历史上，在他之前，测量高山用的是“望山川之形，定高下之势”——那是目测，是经验，是大概齐。在他之后，这种“两次测望”的方法被反复沿用，一千多年后传到印度，再传到阿拉伯世界，最终辗转抵达欧洲。
可此刻的刘徽没想那么远。他只想算对。
炭石在石板上划出最后一道除法，他站起来，仰头望向云雾缭绕的泰山之巅。风把他的须发吹得凌乱，他眯着眼睛，缓缓开口：
“山高，一千七百九十丈。”
弟子愣住：“先生，您都没上山，怎么……”
刘徽低头看了看脚下的石板，又抬头看了看山顶。那山巅隐在云里，目不可及，可他手里的数字比任何亲眼所见都更接近真相。他忽然笑了，笑得有些苍凉。
“虽天圆穹之象，犹曰可度，又况泰山之高哉？”
他这句感慨里藏着半辈子的不甘——天象可度，人心却不可度；真理可求，世道却不可求。
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（五）牟合方盖与未竟之业
回洛阳后，刘徽把自己关在书房里整整三个月。
他在解一道难题：球体积。
《九章算术》的公式是V=9D³/16，他早在二十年前就断定它错了。可他找不到正确的答案。他在纸上画了一个正方体，里面画了两个垂直相交的圆柱——二者贯交的部分，形成一个上下对称、形状奇异的立体。
“牟合方盖。”他给它起了这个名字。
球体恰好内切于这个方盖之内。只要算出方盖的体积，球体积便迎刃而解。这个思路天才至极——可他卡住了。
牟合方盖的形状太过诡异，似方非方，似圆非圆。他尝试了各种分割方法：横切、纵切、斜切，每一次都差那么一点。算筹摆满三张案几，竹简堆了半人高，可他始终算不出那个精确的数字。
一天夜里，他累得趴在案上睡着了。醒来时油灯已灭，月光照在那堆未完成的草稿上。他盯着那些半途而废的演算，沉默了很久。
然后他拿起刻刀，在竹简上工工整整地刻下一行字：
“敢不阙疑，以俟能言者。”
——我不敢妄下结论，留给后来能解此题的人吧。
这不是认输。这是信任。
他相信未来，相信会有人沿着他的路继续走下去，相信数学不是一人一世之功。一百多年后，祖冲之父子果然沿着他开辟的道路，用他的分割思路，补全了牟合方盖的体积，算出了精确的球体积公式。而祖冲之在著作中，恭恭敬敬地写下了“依刘徽之说”五个字。
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（六）阳马与鳖臑
除了球体积，刘徽还在做另一件更基础的事。
他把一个长方体斜切一刀，得到一个楔形立体；再剖一刀，分成两部分——一个叫“阳马”，一个叫“鳖臑”。
阳马是直角四棱锥，鳖臑是四面体。他反复分割、拼合、再分割，发现二者的体积之比恒为2:1。这个结论看似简单，却是整个立体几何的基石。
“不有鳖臑，无以审阳马之数；不有阳马，无以知锥亭之类。”他在注文中写道，“功实之主也。”
没有鳖臑，就推不出阳马的体积；没有阳马，就算不出棱锥和棱台的体积。这是一整套逻辑链条——从最基础的四面体开始，层层推导，一直到所有立体图形的求积公式。
当他把一个立体分割到“余广、袤、高之数各半之，则四分之三又可知也。半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形”的程度时，他又一次触到了那个边界。
又是“无限”。又是“极限”。
他放下刻刀，望向窗外。洛阳又下雪了，无声地覆盖了宫阙、街巷、城墙。他知道，这天下很快就要姓司马了——晋王司马昭已经病逝，他的儿子司马炎已经在筹备禅让。改朝换代就在眼前，可这一切和他有什么关系呢？
那些权谋、杀戮、帝王霸业，都会过去。唯有这些算筹、这些证明、这些逼近无限的智慧——它们会留下来。
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（七）身后事
景元四年之后的事，正史没有记载。
刘徽卒于何年，葬于何处，有无后人——统统查无实据。晋朝建立后，他像是从人间蒸发了一样。算学馆的博士们继续教他们的“周三径一”，没有人再提起那个质疑经典的老头。
但他留下的那部《九章算术注》，十卷，注文超过原书两倍。他开创了“析理以辞，解体用图”的方法——用文字讲道理，用图形拆结构。将一部只罗列算法的实用手册，改写成了逻辑严密的数学理论体系。
一千多年后，明代的程大位在《算法统宗》里提到他；清代的戴震从《永乐大典》中辑出他的注文；二十世纪的数学史家认定他是“中国古典数学理论的奠基人”。
再后来，联合国教科文组织在巴黎为他举办全球纪念活动。月球上有以“刘徽”命名的环形山。太空中有以他命名的小行星。
而这一切，始于景元四年那个秋夜。一间陋室，一枚刻刀，一盏油灯，和一个不肯对“周三径一”低头的灵魂。
他在那部注文的末尾写过一句话。刻得很浅，像是自言自语：
“当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。”
——这个时代喜欢数学的人太少了，所以世上虽然有很多聪明博学的人，却未必能精通这门学问啊。
他搁下笔，吹干墨迹，把竹简一卷一卷捆好。窗外圆月西沉，东方的天际泛起一线鱼肚白。
他不知道，他刚刚写完的，是中国数学史上最伟大的著作。
他只知道，天亮了，该去算下一个问题了。
---完---
【附：历史资料】
刘徽生平事迹及成就：
刘徽是三国时期魏国人，祖籍山东，出身平民，终身未踏入仕途，因他在数学方面取得了惊人的成就，后人赞其为“布衣数学家”。
刘徽一向治学严谨，对名著古书中的不实之处极为挑剔，他的数学成就之一就是为《九章算术》作注。
他为了易于讲解，对其中的各类解法均作出简要证明，并阐述了各种解题方法与道理，还指出了某些近似解法的精确程度和个别解法的错误。
他在《九章算术注》10卷中提出了不少超出原著的新理论，为后世树立了治学楷模。
刘徽的成就之二是计算圆周率。他应用割圆术得到了圆周率的“丌”值应在3.14至3.1416之间，这就是史上被称作的“徽率”。
刘徽还提出了齐同术、今有术、图验法、棋验法等各种计算方法，在当时都是比较先进的，极大地促进了数学体系的形成和发展。
刘徽的成就之三是撰写了《重差》1卷，这部书在传至唐朝时改名为《海岛算经》。他在书中提出了用相似三角形对应边成比例的原理来测量计算高、深、广、远的方法。
刘徽的研究方法与成果不仅对我国古代数学的发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确定了崇高的历史地位。有人赞他是“中国传统数学理论体系的奠基者之一”“中国数学史上的牛顿”。
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